1 さまざまな曲線たち
2 距離を用いて表される曲線
3 媒介変数で表される曲線
4 データファイルのDownload
高等学校ではいろんな曲線が登場する。まずは,関数のグラフ1.2次関数のグラフ(放物線) 次に,x, ,y の関係式で表される図形6.直線・円(1次関数としての直線は高校にはない) そして,媒介変数を用いて表される曲線8.サイクロイド がある。このほかにも,デカルトの葉線,リサジュー図形,アステロイドなど,面白い性質を持った曲線が登場する。 1月号では,この中でも,距離を用いて表すことのできる図形に焦点をあてて扱った。 |
三角関数のグラフ |
デカルトの葉線 x3+y3=3xy |
1点からの距離が一定−円最も簡単なのは円で,定点からの距離が常に一定である。 2点からの距離が等しい−直線線分ABの垂直二等分線は,[AX] = [BX] で描くことができる。 2点からの距離の和や差が一定−楕円・双曲線2点A,Bを焦点とする楕円は,[AX] + [BX] = 2a で描くことができる。 2点からの距離の比が一定−円これは,アポロニウスの円と呼ばれている。 2点からの距離の積が一定−カッシーニの卵形線[AX]*[BX] = a2 で描くことができる。 卵としずくk [AX] + [BX] = a で表される曲線を描くと,条件によって,卵になったりしずくになったりする。 |
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a = 1 , k = 0.8 , PQ = 1 |
a = 1.2 , k = 0.7 , PQ = 1 |
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k [AX] + [BX] = 2a |
本文では紹介できなかったが,パラメータ(媒介変数)を用いるとさまざまな曲線を表すことができる。サイクロイド直線上を円が転がるとき,円周上の1点の軌跡をサイクロイドという。 アステロイド大きな定円の内側を,半径1/4の円が転がるとき,円周上の1点の軌跡をアステロイドという。 リサジュー図形単振動はx = cos at で表されるが,x = cos at , y =cos (bt-c) で表される曲線をリサジュー図形という。a, b, c の値によって,さまざまな曲線が得られる。 |
サイクロイド |
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アステロイド |
リサジュー図形(a=2, b=3) |