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放物線の接線の性質の証明

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＜証明＞

放物線の外部にある任意の点をQ，線分 QF が放物線 と交わる点をR とすると，

RF = RK より RF > RM

また，

RF ： RM = QF : QJ

であるから，

QF > QJ

同様にして，

「点Qが放物線の外部にあるとき　⇔　QF > QJ」
「点Qが放物線上にあるとき　⇔　QF = QJ」
「点Qが放物線の内部にあるとき　⇔　QF < QJ」

であることがわかる。
　
次に，放物線上の点Pにおいて，∠FPH の二等分線 l を引く。
この直線 l が点Pにおける接線であることを示せばよい。
そして，そのためには，点Pを除く直線 l 上のすべての点が，放物線の外側にあることを示せばよい。
ところで，二等分線 l において，点P以外の任意の点をQとすれば，

QF = QH より QF > QJ

したがって，点Qは放物線の外部にあることがわかる。（証明終）