2008年2月号の補足

　正ｎ角形の頂点の対角線は，ひとつの頂点から (n-3) 本でているから，のべ (n-3)×n 本ある。しかし，これは対角線を２回ずつ数えているから，対角線の本数は n(n-3)/2 本

以下では，正n角形は半径1の円に内接しているとする。
ひとつ頂点から出ている対角線（辺も含めて）は n-1 本あるが，これらの長さの和は，θ＝π/n とすれば，
　　2 { sinθ+sin2θ+sin3θ+ ・・・ +sin(n-1)θ}
であるから，対角線の総延長Lnは，
　　Ln ＝ n { sinθ+sin2θ+sin3θ+ ・・・ +sin(n-1)θ}
で与えられる。
これの和は，各項に2sin(θ/2) を掛けて積和公式を適用すると，
　　2Ln sin(θ/2) ＝ n { cos(θ/2) - cos((n-1/2)θ) } = 2n cos(θ/2)
したがって，
　　Ln ＝ n /tan(θ/2) ＝ n / tan(π/2n)

正n角形の対角線の交点の総数を求めるのは，一般には非常に難しい。
ただ，nが素数の場合，３本以上の対角線が同一点で交わることがない。また，4つの頂点を選ぶと２本の交わる対角線を引くことができるから，対角線の交点の個数は，
　　_nC₄ ＝ n(n-1)(n-2)(n-3)/24 個
ある。