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| （ｎ，ａ）＝（16，6）の途中図 | （ｎ，ａ）＝（16，6）の完成図 |
１ 星形正多角形と約数・倍数の関係
２ 分数正多角形
３．データファイルのDownload
正ｎ角形の頂点のひとつの位置に点Ｐがあり，これをａ個ずつ進めていく。
点Ｐの止まった跡を結んでいくと星形正多角形ができるが，ｎとａによって，どのような星形ができるかを考えてみよう。
（ｎ，ａ）＝（16，6）の途中図 （ｎ，ａ）＝（16，6）の完成図
点Ｐをｘ回進めてちょうど星形が完成したとする。このとき，点Ｐは最初の位置に戻っているから，
ａｘ＝ｋｎ
が成り立つ。ここでｋは整数であり，点Ｐが最初の位置に戻るまでに円周を何周するかを表している。
上図の例では，点Ｐは
８回進んだときに最初の位置に戻り，
この間に円周を３周するから，
ｘ＝８，ｋ＝３ である。
このとき，６・８＝３・１６ である。
ax＝ｋｎ＝Ｌ とおくと，Ｌはｎとａの最小公倍数であるから，
ｘ＝Ｌ／ａ ， ｋ＝Ｌ／ｎ （Ｌはｎとａの最小公倍数）
が成り立つ。
ここで，２数ｎ，ａの最大公約数をＧと表せば，ＬＧ＝ｎａ
であるから，
ｘ＝ｎ／Ｇ ， ｋ＝ａ／Ｇ （Ｇはｎとａの最大公約数）
が成り立つ。
とくに，ｎとａが互いに素であるとき，Ｇ＝１
であるから，ｘ＝ｎ が成り立つ。
これは逆も成り立つから，
「点Ｐがすべての頂点を通る条件は，ｎとａが互いに素であること」
である。
ｎとａが2以上の公約数を持つとき，ｎとａの最大公約数をＧとし，ｎ＝ｎ’Ｇ，ａ＝ａ’Ｇ とすれば，
（ｎ，ａ）＝（15，6）
ｘ＝5，ｋ＝2（ｎ，ａ）＝（5，2）
ｘ＝5，ｋ＝2ｘとｋで形が決まる。
a’x＝ｋｎ’が成り立つことから，
（ｎ，ａ）の２数が作る星形と（ｎ’，ａ’）の２数が作る星形は同じである。
簡単に表現すれば，
例えば，数学教育12月号本文Ｐ79上部の五芒星では，
（ｎ，ａ）＝（10 , 4），（15 , 6），（20 , 8），（25 , 10） であり，
これらはいずれも，（ｎ，ａ）＝（5 , 2）と同じ形である。
２数ｎ，ａが与えられたとき，これらを「約分」しても星形は変わらない。
そこで，（ｎ，ａ）が作る星形をｎ／ａ角形（ａ分のｎ角形）と表現することがある。
ａ＝1 のとき，ｎ／ａ＝ｎであり，また図形も正ｎ角形になることから，この表現は，正ｎ角形という表現方法の拡張になっている。
五芒星は５／２角形（２分の５角形）である。
注：ｎ／ａ角形という場合，（ｎ，ａ）が作る星形と（ｎ，ｎ−ａ）が作る星形は同形であるから，ａ＜ｎ／2 とするのが普通である。
