１月号の補足

１　スピログラフの紹介
２　内サイクロイドと内トロコイド
３　内トロコイドを直接描く
４　授業実践の紹介
５．データファイルのDownload

１．スピログラフの紹介

本文にも出できた「スピログラフ」の紹介

　まず右の写真を見て下さい。ずいぶん前からずっと同じものが売られていますよね。このページを見ている人は，昔ずいぶんと遊んだ経験があるのではないでしょうか。それとも，「今まさに遊んでいる最中？」。
昔は縁日，今は１００円ショップで購入するのでしょうか。
［クリックで拡大］


「内トロコイド＿ギア」

GRAPESのサンプルをダウンロードするとその中に，まさに「スピログラフ」と言えるものがあります。
ｓａｍｐｌｅ／いろいろな曲線／媒介変数／内トロコイド_ギヤ．ｇｐｓ
にあります。是非，このファイルを動かして，「スピログラフ」を動かした時の興奮を味わい直して下さい。とても旨くギアが噛み合って動円（円盤）が動きます。


スクリーンセーバー「スピログラフ」

著者の一人（友田）が作った，スピログラフスクリーンセーバーを試して下さい。仕事の合間に，美しいスピログラフがあなたの画面を飾ります。(^_^)v
著者の一人（堀部）はこのスクリーンセーバーを愛用しています。(^_-)

２．内サイクロイドと内トロコイド

内サイクロイド

半径1 の定円Oに，半径a の円Ｐが，内接しながら滑ることなく転がるとき動円Ｐの円周上に固定した点Ｑの描く曲線を，内サイクロイドといいます。

内トロコイド

内サイクロイドにおいて，「動円Ｐの円周上に固定した点」という条件を「動円の内部および外部に固定した点（下図ではR）」と変えると，内トロコイドとなります。
ということで，スピログラフは，「内トロコイド」を描くための器具だったのです。

外サイクロイド

半径1 の定円Oに，半径a の円Ｐが，外接しながら滑ることなく転がるとき動円Ｐの円周上に固定した点Ｑの描く曲線を，外サイクロイドといいます。　　

外トロコイド

外サイクロイドにおいて，「動円Ｐの円周上に固定した点」という条件を「動円の内部および外部に固定した点（下図ではR）」と変えると，外トロコイドとなります。

３．内トロコイドを直接描く

「数学教育」の中では円を転がして点の軌跡として描きました。これは，描いている様子がわかってよいのですが，曲線だけを得るのであれば，GRAPESの「曲線」を用いるのが便利です。


「曲線」での入力の様子

GRAPESの曲線エリアの［作成］をポイントし，アルファベット（例えばP）をクリックします。
図形の種類では，［曲線］を選び，
右図のように方程式
　P = (1-a)roll(t) + ab roll((1-1/a)t)
を入力します。
この方程式は，x,yの成分に分解して，
　x = (1-a)cos t + ab cos(1-1/a)t
　y = (1-a)sin t + ab sin(1-1/a)t
としても構いません。

パラメータtの変域を 0 < t < 2nPi としておくのがポイントで，これによって，n周するまで描くことができます。

あと，［点］は表示しないほうがきれいなので，透明色に設定します。
このとき，初期値が a = 1 , b = 1 となるので，最初はなにも表示されません。ビックリしないでください。a=0.7 , b = 0.8 などとすると美しい内トロコイドが現われます。
このパラメータ表示の場合は，
  • 0<a<1 の場合，内トロコイド　（特に，b=1 なら，内サイクロイド）
  • a>1 の場合，外トロコイド　（特に，b=1 なら，外サイクロイド）
となります。

４．愛知県立春日井高等学校における「内トロコイドで綺麗な図を描いてみよう」という課題の紹介とＧＩＦアニメの紹介

　ＧＲＡＰＥＳの使用方法の基礎を説明したあと、サンプルファイル「内トロコイド＿ゆっくり」を見せながら内トロコイドのパラメータ とその機能について説明をしました。
　数時間の実習時間をとり、生徒自身がパラメーターの値と、描かれる図形との関連を調べながら「きれいな」グラフ（絵）を発見させました。文字通り「試行錯誤法」によって・・・。
右は生徒作品１０数人分を使って作った、ＧＩＦアニメです。是非一度ご覧下さい。

（右図をクリックすると，きれいなアニメが現われます）

データファイルのDownload